Пожар на острове

Вы оказались на необитаемом острове. Остров очень длинный (скажем, 20 километров), но очень узкий (скажем, 10 метров) и вытянулся с запада на восток. Весь остров порос деревьями.

На западном краю острова начался пожар. К сожалению, сильный ветер дует с запада на восток и гонит пожар на Вас, хотя скорость распространения пожара и меньше скорости, с которой Вы бегаете. Оказаться в пожаре означает немножко сгореть насмерть. Деться с острова никуда нельзя, потому что берега очень крутые и спрыгнуть с них не приятнее, чем оказаться в пожаре. Лопаты, чтобы вырыть противопожарный ров тоже нет. Как Вам спастись?

Эту жизненную задачу я давным-давно увидел здесь.

50 красных и 50 синих шаров

У Вас есть два ящика, в которые Вы должны разложить 50 синих и 50 красных шаров произвольным образом при условии, что все шары должны оказаться в одном из ящиков. После того, как Вы это сделаете, я наугад выберу один из ящиков и наугад вытащу из него один шар. Как Вы должны распределить шары, чтобы максимизировать вероятность того, что я вытащу красный шар?

Мышиная охота

В стене есть 5 мышиных норок, расположенных в ряд. Мышка сидит в одной из них, причём неизвестно, в какой именно. Кот Леопольд Дорофей хочет поймать эту мышку. За одну попытку он может засунуть лапу в одну из норок. Если он угадал, то мышка становится его добычей. Если нет, то перепуганная мышка обязательно перебегает из той норки, в которой она сидела, в соседнюю справа или слева. Может ли Дорофей гарантированно поймать мышку?

6 шаров, 2 взвешивания.

Есть 2 красных шара, 2 зелёных шара и 2 синих шара, т.е. всего 6 штук. В каждой паре шаров одинакового цвета один шар легче другого, причём известно, что все лёгкие шары весят 50 грамм, а все тяжёлые - 100 грамм. В вашем распоряжении чашечные весы без гирь. Как определить лёгкие и тяжёлые шары за два взвешивания?

Цепь резисторов

На рисунке изображена бесконечная цепь, составленная из одинаковых резисторов сопротивлением R. Чему равно общее сопротивление этой цепи, т.е. сопротивление между точками A и B?

100 ступенек

Перед Вами лестница из 100 ступенек. Каждым шагом Вы можете подняться вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими различными способами можно подняться по этой лестнице наверх?

Задача фон Неймана

На этот раз хочется не столько рассказать новую задачу (95% слышали её ещё в школе), сколько вспомнить связанную с ней байку.

Между пунктами А и Б проложена одноколейная железная дорога длиной 200 км. Из пункта А в пункт Б вышел поезд со скоростью 50 км/ч. Одновременно навстречу ему из пункта Б в пункт А с той же скоростью вышел другой поезд. В тот же момент муха, сидевшая на ветровом стекле поезда А, отправилась навстречу поезду Б со скоростью 200 км/ч. Долетев до него, она мгновенно развернулась без потери скорости и направилась навстречу поезду А. Так эта муха и летала между поездами, пока они не столкнулись и не раздавили её. Сколько километров успела пролететь муха?

Эту задачу можно решить в уме за 5 секунд, если догадаться, как. А можно решить в лоб, просуммировав возникающий в задаче ряд.

Рассказывают, что Джон фон Нейман, один из основоположников информатики, услышав эту задачу, задумался лишь на секунду и выдал правильный ответ. Когда его спросили, как же он так быстро нашёл ответ, учёный скромно ответил, что просуммировал ряд.