Сначала фокусник продемонстрировал зрителям пустой цилиндр.
Ровно за минуту до полудня он опустил в цилиндр карточку с числом 1.
За 1/2 минуты до полудня он вытащил из цилиндра и выкинул карточку с числом 1, а вместо неё положил карточки с числами 2 и 3.
За 1/3 минуты до полудня фокусник извлёк из цилиндра карточку с числом 2, положив взамен карточки 4, 5, 6 и 7.
За 1/4 минуты до полудня он удалил из цилиндра число 3, а вместо неё положил в цилиндр числа от 8 до 15.
...
В полдень измученный фокусник вывалил всё содержимое цилиндра на стол. Сколько карточек с числами увидели зрители?
Решение
В условии задачи пропущена очень важная деталь: неизвестно, как именно должен произойти предельный переход. В зависимости от того, как мы интерпретируем условие, мы можем получить совершенно противоположные ответы.
Допустим, что фокусник умеет совершать предельный переход так, как об этом пишут в учебниках математического анализа.
Для любого натурального $n>1$ за $1/n$ минуты до полудня фокусник удаляет число $n-1$ и добавляет числа от $2^{n-1}$ до $2^n-1$, после чего в цилиндре оказывается $2^n-n$ чисел.
Количество карточек после каждого шага образует последовательность $x_n = 2^n-n$. Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой, т.е. $\lim x_n=\infty$. Поэтому в полдень фокусник вывалит из цилиндра бесконечное число карточек.
Но ведь можно рассуждать и по-другому. Фокусник не может в полдень вывалить из цилиндра число 1, потому что он выкинул его за 30 секунд до этого. Не может он показать нам и число 2 - эту карточку удалили из цилиндра за 20 секунд до полудня.
Вообще, для любого числа $n$ мы можем сказать, что фокусник удалил его из цилиндра за $1/(n+1)$ минуты до полудня, поэтому в полдень такой карточки в цилиндре не будет. Но если ни одно число не может остаться в цилиндре, то в полдень цилиндр будет пустым, и зрители не увидят ни одной карточки!
В этом случае мы используем определение предела из теории множеств. У нас есть последовательность из множеств такого вида:
$X_1 = \{ 1 \}$
$X_2 = \{ 2, 3 \}$
$X_3 = \{ 3, 4, 5, 6, 7\}$
$X_4 = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$
$...$
Можно доказать, что предел этой последовательности существует и равен пустому множеству: $\lim X_n = \varnothing$.
Получается интересный результат: предел последовательности количества карточек в цилиндре равен бесконечности, в то время как предел последовательности множеств карточек, остающихся в цилиндре, есть пустое множество.
Сплошной обман трудящихся, не правда ли?
P.S. Строгое определение предела последовательности множеств через верхний и нижний пределы можно посмотреть в английской Википедии.
Ровно за минуту до полудня он опустил в цилиндр карточку с числом 1.
За 1/2 минуты до полудня он вытащил из цилиндра и выкинул карточку с числом 1, а вместо неё положил карточки с числами 2 и 3.
За 1/3 минуты до полудня фокусник извлёк из цилиндра карточку с числом 2, положив взамен карточки 4, 5, 6 и 7.
За 1/4 минуты до полудня он удалил из цилиндра число 3, а вместо неё положил в цилиндр числа от 8 до 15.
...
В полдень измученный фокусник вывалил всё содержимое цилиндра на стол. Сколько карточек с числами увидели зрители?
Решение
В условии задачи пропущена очень важная деталь: неизвестно, как именно должен произойти предельный переход. В зависимости от того, как мы интерпретируем условие, мы можем получить совершенно противоположные ответы.
Допустим, что фокусник умеет совершать предельный переход так, как об этом пишут в учебниках математического анализа.
Для любого натурального $n>1$ за $1/n$ минуты до полудня фокусник удаляет число $n-1$ и добавляет числа от $2^{n-1}$ до $2^n-1$, после чего в цилиндре оказывается $2^n-n$ чисел.
Количество карточек после каждого шага образует последовательность $x_n = 2^n-n$. Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой, т.е. $\lim x_n=\infty$. Поэтому в полдень фокусник вывалит из цилиндра бесконечное число карточек.
Но ведь можно рассуждать и по-другому. Фокусник не может в полдень вывалить из цилиндра число 1, потому что он выкинул его за 30 секунд до этого. Не может он показать нам и число 2 - эту карточку удалили из цилиндра за 20 секунд до полудня.
Вообще, для любого числа $n$ мы можем сказать, что фокусник удалил его из цилиндра за $1/(n+1)$ минуты до полудня, поэтому в полдень такой карточки в цилиндре не будет. Но если ни одно число не может остаться в цилиндре, то в полдень цилиндр будет пустым, и зрители не увидят ни одной карточки!
В этом случае мы используем определение предела из теории множеств. У нас есть последовательность из множеств такого вида:
$X_1 = \{ 1 \}$
$X_2 = \{ 2, 3 \}$
$X_3 = \{ 3, 4, 5, 6, 7\}$
$X_4 = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$
$...$
Можно доказать, что предел этой последовательности существует и равен пустому множеству: $\lim X_n = \varnothing$.
Получается интересный результат: предел последовательности количества карточек в цилиндре равен бесконечности, в то время как предел последовательности множеств карточек, остающихся в цилиндре, есть пустое множество.
Сплошной обман трудящихся, не правда ли?
P.S. Строгое определение предела последовательности множеств через верхний и нижний пределы можно посмотреть в английской Википедии.
Интересная задача, возьму на заметку.
ОтветитьУдалить