Пьяный математик

Один математик жутко напился и неизвестным образом оказался на острове, который, как водится в задачах этого рода, населяли племя лжецов и племя правдивых туземцев. Члены первого племени всегда лгали, члены второго - всегда говорили только правду. Математик встретил аборигена, неизвестно, правдивого или нет.

Как, задав единственный вопрос и получив в ответ "Да" или "Нет", математик узнал, из какого племени этот туземец, сколько у него сыновей и сколько дочерей (оказалось 2 и 3), и в какую сторону нужно идти, чтобы попасть в аэропорт?

Считаем, что туземцы знают логику и математику ровно в таком же объёме, что и европейцы.

Научная гипотеза

Вспомнил на днях интересную задачку из Гарднера. Вопрос: является ли красная корова подтверждением гипотезы, что все вороны - чёрные?

Две дроби

Есть два рациональных числа: 13/16 и 9/11. Напишите рациональное число, которое находится между ними (больше 13/16 и меньше 9/11) и имеет знаменатель меньше 100.

Карточный фокус

Фокусник даёт зрителям стандартную колоду из 52 карт: 4 масти от двойки до туза без джокеров. Зрители произвольным образом выбирают из колоды 5 карт и показывают их помощнику фокусника. Помощник смотрит на эти 5 карт и говорит 4 из них фокуснику (какие именно и в каком порядке решает он). После этого фокусник называет пятую карту. Как ему это удаётся?

Никакой ловкости рук, чистая математика. Помощник не может передать дополнительную информацию интонацией, паузами или порядком слов ("дама треф"/"трефовая дама"). В предельном случае можно считать, что помощник жестами показывает зрителю, какую карту назвать, а тот сам озвучивает её фокуснику. Конечно, фокусник и помощник имели возможность договориться обо всём заранее.

Парадокс фокусника

Сначала фокусник продемонстрировал зрителям пустой цилиндр.
Ровно за минуту до полудня он опустил в цилиндр карточку с числом 1.
За 1/2 минуты до полудня он вытащил из цилиндра и выкинул карточку с числом 1, а вместо неё положил карточки с числами 2 и 3.
За 1/3 минуты до полудня фокусник извлёк из цилиндра карточку с числом 2, положив взамен карточки 4, 5, 6 и 7.
За 1/4 минуты до полудня он удалил из цилиндра число 3, а вместо неё положил в цилиндр числа от 8 до 15.
...

В полдень измученный фокусник вывалил всё содержимое цилиндра на стол. Сколько карточек с числами увидели зрители?

Монеты в тёмной комнате

Вас завели в тёмную комнату, в которой на столе лежат 100 монет. Известно, что ровно 20 монет лежат решками вверх. Нужно разделить все монеты на столе на две кучки так, чтобы количество монет, лежащих решками вверх, в первой кучке и во второй кучке было одинаковым. Размер кучек значения не имеет. Разглядеть монеты в темноте нельзя, отличить на ощупь орла от решки тоже невозможно.

Пожар на острове

Вы оказались на необитаемом острове. Остров очень длинный (скажем, 20 километров), но очень узкий (скажем, 10 метров) и вытянулся с запада на восток. Весь остров порос деревьями.

На западном краю острова начался пожар. К сожалению, сильный ветер дует с запада на восток и гонит пожар на Вас, хотя скорость распространения пожара и меньше скорости, с которой Вы бегаете. Оказаться в пожаре означает немножко сгореть насмерть. Деться с острова никуда нельзя, потому что берега очень крутые и спрыгнуть с них не приятнее, чем оказаться в пожаре. Лопаты, чтобы вырыть противопожарный ров тоже нет. Как Вам спастись?

Эту жизненную задачу я давным-давно увидел здесь.