Шары и коробки

n различимых между собой шаров случайным образом распределяют по n различимым коробкам. Сколько в среднем коробок останутся пустыми?

Решение
Пусть $A_i$ обозначает событие "коробка $i$ осталась пустой", а $P(A_i)$ обозначает вероятность этого события. Обозначим через $X_i$ индикатор этого события, а через $X$ - количество оставшихся пустыми коробок.

В этих обозначениях мы можем выписать математическое ожидание $X$:$$
\begin{align*}
E(X) &= E(\sum_{i=1}^{n} X_i) = \sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i) =\\ &=\sum_{i=1}^{n} {(1-1/n)^n} = n(1-1/n)^n
\end{align*}
$$Устремляя $n$ к бесконечности, вычислим долю пустых коробок:$$
\begin{align*}
\lim\limits_{n \to \infty} E(X)/n &= \lim\limits_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n =
\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n-1}{n})^n =
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{(\frac{n-1+1}{n-1})^n} = \\
&= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n-1})^n} =
\frac{1}{e} \approx 0.368
\end{align*}$$Другими словами, при большом $n$ пустыми останется примерно треть коробок.