n различимых между собой шаров случайным образом распределяют по n различимым коробкам. Сколько в среднем коробок останутся пустыми?
Решение
Пусть A_i обозначает событие "коробка i осталась пустой", а P(A_i) обозначает вероятность этого события. Обозначим через X_i индикатор этого события, а через X - количество оставшихся пустыми коробок.
В этих обозначениях мы можем выписать математическое ожидание X: \begin{align*} E(X) &= E(\sum_{i=1}^{n} X_i) = \sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i) =\\ &=\sum_{i=1}^{n} {(1-1/n)^n} = n(1-1/n)^n \end{align*} Устремляя n к бесконечности, вычислим долю пустых коробок: \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} E(X)/n &= \lim\limits_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n = \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n-1}{n})^n = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{(\frac{n-1+1}{n-1})^n} = \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n-1})^n} = \frac{1}{e} \approx 0.368 \end{align*}Другими словами, при большом n пустыми останется примерно треть коробок.
Решение
Пусть A_i обозначает событие "коробка i осталась пустой", а P(A_i) обозначает вероятность этого события. Обозначим через X_i индикатор этого события, а через X - количество оставшихся пустыми коробок.
В этих обозначениях мы можем выписать математическое ожидание X: \begin{align*} E(X) &= E(\sum_{i=1}^{n} X_i) = \sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i) =\\ &=\sum_{i=1}^{n} {(1-1/n)^n} = n(1-1/n)^n \end{align*} Устремляя n к бесконечности, вычислим долю пустых коробок: \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} E(X)/n &= \lim\limits_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n})^n = \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n-1}{n})^n = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{(\frac{n-1+1}{n-1})^n} = \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n-1})^n} = \frac{1}{e} \approx 0.368 \end{align*}Другими словами, при большом n пустыми останется примерно треть коробок.
Комментариев нет:
Отправить комментарий