Сумасшедший пассажир

Идёт посадка пассажиров в 100-местный самолёт. У каждого пассажира есть билет, в котором указано его место, и все места проданы (но, конечно, без овербукинга). Однако первый же зашедший в салон пассажир выбрал себе случайным образом одно из 100 мест и разместился на нём.

Следующие 99 пассажиров поступают следующим образом: если место, указанное в билете, свободно, пассажир садится на него. В противном случае (т.е. если назначенное ему место уже занято) пассажир садится на любое из свободных мест случайным образом.

Какова вероятность того, что последний (сотый) пассажир окажется на своём месте?

Дмитрий Медведев и метро

Дмитрий Медведев любит немного развеяться после трудного рабочего дня. Для этого он записался в секцию бадминтона (тренер - МСМК В. Путин) и в кружок занимательной арифметики (преподаватель - д.ф.-м.н. В. Чуров).

Так сложилось, что Дмитрий Медведев никак не может определиться, какое хобби ему больше по душе, и доверяет выбор слепому случаю. Спустившись после работы в метро, он садится на первый же поезд, в какую бы сторону он ни шёл. Поскольку кружок и секция расположены в разных концах Москвы, а работает Дмитрий Медведев в центре, получается, что метро увозит его либо в сторону кружка, либо в сторону секции, причём случайным образом.

Известно, что поезда в обоих направлениях следуют с одинаковым интервалом в 2 минуты по чёткому расписанию. Дмитрий Медведев спускается в метро между 18:00 и 18:30, и можно считать, что каждый день это время выбирается случайным образом.

Казалось бы, время между кружком и секцией должно было бы распределяться поровну. Однако через год оказалось, что бадминтоном Дмитрий Медведев занимался в среднем в 3 раза чаще, чем арифметикой. Как такое может быть?

Нормальный алгоритм

Нормальный алгорим Маркова представляет собой упорядоченный набор правил замен подстрок. Например, если у нас есть алгоритм
"Мой" -> "Моя"
"дядя" -> "тётя"
то, применив его к строке "Мой дядя самых честных правил", мы получим строку "Моя тётя самых честных правил".

Другими словами, алгоритм Маркова действует следующим образом:
1. Просматривая список правил сверху вниз, найти первое правило, которое применимо к текущей строке.
2. Если такого правила нет, то закончить алгоритм.
3. Если правило нашлось, то выполнить подстановку и перейти на шаг 1. При этом, если левая часть правила содержится в строке более одного раза, то будет заменено только самое левое вхождение.

Напишите нормальный алгоритм, который будет складывать двоичные числа. То есть, подав ему на вход строку "10+11", мы должны получить на выходе строку "101".

Для проверки решения можно воспользоваться онлайн интерпретатором:

Волшебное число

Назовём волшебным натуральное девятизначное число, которое обладает следующими свойствами:
1. В нём содержатся по одному разу все цифры от 1 до 9 (т.е. все цифры кроме нуля).
2. Само волшебное число делится на 9. Если из него вычеркнуть последнюю цифру, то оставшееся восьмизначное число будет делиться на 8. Если из волшебного числа вычеркнуть последние две цифры, то оставшееся семизначное число будет делиться на 7. И так далее: вычёркивая из волшебного числа n последних цифр, мы будем получать число, которое делится на 9-n.

К примеру, если бы число 123456789 являлось волшебным (оно им не является), то число 12345678 делилось бы на 8, 1234567 делилось бы на 7, 123456 делилось бы на 6 и так далее.

Найдите это волшебное число (оно единственное).

Разумеется, эту задачу можно решить тупым перебором на компьютере. Однако, пользуясь знакомыми с детского садика признаками делимости, задачу можно решить и на бумаге, сократив пространство перебора до десятка вариантов.

5 произведений

Я задумал 4 положительных числа (не обязательно целых): a, b, c и d. Очевидно, что из них можно составить 6 попарных произведений: a*b, a*c, a*d, b*c, b*d и c*d. Я скажу Вам, чему равны 5 из них, но не уточню, каким выражениям они соответствуют. Вот эти произведения: 2, 3, 4, 5, 6.

Чему равно шестое произведение?