10 перчаток

В ящике лежит 5 пар печаток: 3 пары синих и 2 пары зелёных, т.е. всего 10 перчаток. Из ящика наугад достали одну за другой 3 перчатки. Какова вероятность того, что среди них найдётся пара (т.е. левая и правая перчатки одного цвета)?

Решение
В этом случае самый быстрый и надёжный способ решения - аккуратно построить дерево исходов и посчитать вероятности. Можно, конечно, расписать всё по формуле полной вероятности (в своё время я так и сделал), но тогда решение будет более громоздким.

Для начал упростим себе работу ровно в два раза. Заметим, что случай, когда первой вытянули правую перчатку, совершенно симметричен случаю, когда первой попалась левая перчатка (любого цвета). Поэтому мы построим деревья исходов только для одного случая, а потом умножим вероятность на 2.

Теперь легко рассчитать условные вероятности:$$P(A|1ЗЛ) = \frac{2}{9} + \frac{1}{9}\cdot\frac{2}{8} + \frac{3}{9}\cdot\frac{5}{8} + \frac{3}{9}\cdot\frac{5}{8} = \frac{2}{9} + \frac{1}{36} + \frac{5}{12} = \frac{2}{3}$$ $$P(A|1СЛ) = \frac{3}{9} + \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{8} + \frac{2}{9}\cdot\frac{5}{8} + \frac{2}{9}\cdot\frac{5}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \frac{5}{18} = \frac{25}{36}$$Отсюда следует, что $$P(A) = 2\left(\frac{2}{10}\cdot\frac{2}{3} + \frac{3}{10}\cdot\frac{25}{36}\right) = 2\left(\frac{2}{15} + \frac{5}{24}\right) = 2\cdot\frac{41}{120} = \frac{41}{60}$$Таким образом, вероятность вытащить пару перчаток равна $\frac{41}{60}$.