Бессмертный эльф Леголас несколько тысяч лет назад вложил 100 золотых монет в инвестиционный фонд "Мордор Может Многое" (МММ) под 5% годовых. Теперь он хочет забрать свои деньги и купить однокомнатное дерево в Лориене.
Владелец МММ, коварный Саурон, поставил следующее условие: Леголас должен правильно назвать первую цифру в сумме на его счету. В противном случае все его деньги навечно останутся в МММ. К сожалению, вклад был открыт так давно, что Леголас совершенно не помнит, сколько лет прошло, и не может просто посчитать сумму на калькуляторе. Возможно, прошла тысяча лет, возможно полторы, возможно и все пять.
Какую цифру должен назвать Леголас, чтобы получить свои деньги с максимальной вероятностью? Считаем, что эльфы пользуются десятичной системой счисления.
Интуитивно, конечно, кажется, что все цифры от 1 до 9 равновероятны, и шансы угадать в любом случае равны 1/9. На самом же деле, Леголас может забрать свой вклад с вероятностью 30%, если назовёт нужную цифру.
Решение
Давайте проследим, как изменяется первая цифра после открытия вклада.
Изначально у нас 100 монет. Для того, чтобы сумма вклада доросла до 200 монет, должно пройти log1.05(200/100) ≈ 14.2 лет. Другими словами, 14 первых лет сумма вклада начинается на единицу.
После того, как мы получили 200 монет, нужно будет ждать log1.05(300/200) ≈ 8.3 года, чтобы получить на счету 300 монет. В течение этих 8.3 лет сумма вклада начинается на цифру 2.
Сумма вклада дорастёт до 400 монет за log1.05(400/300) ≈ 5.9 лет, в течение которых сумма вклада будет начинаться на тройку.
Рассуждая аналогично, можно посчитать, что, например, на девятку сумма вклада будет начинаться всего лишь log1.05(1000/900) ≈ 2.2 года.
А что же будет после того, как на счету окажется 1000 монет? Нам снова нужно будет ждать 14.2 лет, чтобы дорасти до 2000. Потом 8.3 лет, чтобы получить на счету 3000 монет, и так далее. Всего этот цикл, за который вклад увеличивается в 10 раз, длится log1.0510 ≈ 47.2 года.
Обратим внимание: из 47 лет цикла 14 лет первой цифрой будет единица, и чем больше цифра, тем меньшее число лет она будет первой цифрой в сумме вклада.
Следовательно, назвав единицу, Леголас угадает первую цифру вклада с вероятностью log102 ≈ 0.3010 = 30.1%.
Этот парадокс известен как закон Бенфорда: в числовых данных, взятых из реальной жизни, единица встречается чаще других цифр.
Владелец МММ, коварный Саурон, поставил следующее условие: Леголас должен правильно назвать первую цифру в сумме на его счету. В противном случае все его деньги навечно останутся в МММ. К сожалению, вклад был открыт так давно, что Леголас совершенно не помнит, сколько лет прошло, и не может просто посчитать сумму на калькуляторе. Возможно, прошла тысяча лет, возможно полторы, возможно и все пять.
Какую цифру должен назвать Леголас, чтобы получить свои деньги с максимальной вероятностью? Считаем, что эльфы пользуются десятичной системой счисления.
Интуитивно, конечно, кажется, что все цифры от 1 до 9 равновероятны, и шансы угадать в любом случае равны 1/9. На самом же деле, Леголас может забрать свой вклад с вероятностью 30%, если назовёт нужную цифру.
Решение
Давайте проследим, как изменяется первая цифра после открытия вклада.
Изначально у нас 100 монет. Для того, чтобы сумма вклада доросла до 200 монет, должно пройти log1.05(200/100) ≈ 14.2 лет. Другими словами, 14 первых лет сумма вклада начинается на единицу.
После того, как мы получили 200 монет, нужно будет ждать log1.05(300/200) ≈ 8.3 года, чтобы получить на счету 300 монет. В течение этих 8.3 лет сумма вклада начинается на цифру 2.
Сумма вклада дорастёт до 400 монет за log1.05(400/300) ≈ 5.9 лет, в течение которых сумма вклада будет начинаться на тройку.
Рассуждая аналогично, можно посчитать, что, например, на девятку сумма вклада будет начинаться всего лишь log1.05(1000/900) ≈ 2.2 года.
А что же будет после того, как на счету окажется 1000 монет? Нам снова нужно будет ждать 14.2 лет, чтобы дорасти до 2000. Потом 8.3 лет, чтобы получить на счету 3000 монет, и так далее. Всего этот цикл, за который вклад увеличивается в 10 раз, длится log1.0510 ≈ 47.2 года.
Обратим внимание: из 47 лет цикла 14 лет первой цифрой будет единица, и чем больше цифра, тем меньшее число лет она будет первой цифрой в сумме вклада.
Следовательно, назвав единицу, Леголас угадает первую цифру вклада с вероятностью log102 ≈ 0.3010 = 30.1%.
Этот парадокс известен как закон Бенфорда: в числовых данных, взятых из реальной жизни, единица встречается чаще других цифр.
Комментариев нет:
Отправить комментарий