Два пловца одновременно стартуют по одной дорожке от одного бортика бассейна и плавают туда-сюда с постоянными скоростями. Один проплывает бассейн от одного бортика до противоположного за 11 минут, а второй - за 30 минут. Достигнув бортика, они мгновенно разворачиваются и начинают плыть в обратном направлении с прежней скоростью. Пловцы остановятся, когда оба одновременно окажутся у того бортика, с которого они стартовали. Сколько раз за это время быстрый пловец догонит медленного?
Пользуясь случаем, хочу передать привет Рустему, рассказавшему мне эту задачу два года назад.
Решение
Представим, что пловцы плавают не по дорожке бассейна (иногда сталкиваясь на встречных курсах), а по круговой дорожке. В этом случае один из них проплывает круг за 22 минуты, а второй - за 60 минут.
Легко вычислить, сколько времени им потребуется, чтобы вновь одновременно оказаться на старте: НОК(22,60) = 660 минут.
За это время быстрый пловец сделает 660/22=30 кругов, а медленный - только 660/60=11 кругов. Ясно, что чтобы пройти на 1 круг больше, быстрому пловцу необходимо 1 раз обогнать медленного на круг. Поэтому всего он догонит медленного 30-11=19 раз.
Возможно и другое решение. Попробуем посчитать интервал времени между обгонами. В первый раз быстрый пловец обгонит коллегу на своём втором кругу. Обозначим это время $t$. Запишем условие обгона:$$\frac{t-22}{22}=\frac{t}{60},$$откуда следует, что$$t=\frac{660}{19}$$Таким образом, быстрый пловец догоняет медленного каждые $\frac{660}{19}$ минут. За те 660 минут, которые они будут плавать, он успеет это сделать 19 раз.
Пользуясь случаем, хочу передать привет Рустему, рассказавшему мне эту задачу два года назад.
Решение
Представим, что пловцы плавают не по дорожке бассейна (иногда сталкиваясь на встречных курсах), а по круговой дорожке. В этом случае один из них проплывает круг за 22 минуты, а второй - за 60 минут.
Легко вычислить, сколько времени им потребуется, чтобы вновь одновременно оказаться на старте: НОК(22,60) = 660 минут.
За это время быстрый пловец сделает 660/22=30 кругов, а медленный - только 660/60=11 кругов. Ясно, что чтобы пройти на 1 круг больше, быстрому пловцу необходимо 1 раз обогнать медленного на круг. Поэтому всего он догонит медленного 30-11=19 раз.
Возможно и другое решение. Попробуем посчитать интервал времени между обгонами. В первый раз быстрый пловец обгонит коллегу на своём втором кругу. Обозначим это время $t$. Запишем условие обгона:$$\frac{t-22}{22}=\frac{t}{60},$$откуда следует, что$$t=\frac{660}{19}$$Таким образом, быстрый пловец догоняет медленного каждые $\frac{660}{19}$ минут. За те 660 минут, которые они будут плавать, он успеет это сделать 19 раз.
Присоединяюсь к привету. Привет, Рустем!
ОтветитьУдалить