Сначала фокусник продемонстрировал зрителям пустой цилиндр.
Ровно за минуту до полудня он опустил в цилиндр карточку с числом 1.
За 1/2 минуты до полудня он вытащил из цилиндра и выкинул карточку с числом 1, а вместо неё положил карточки с числами 2 и 3.
За 1/3 минуты до полудня фокусник извлёк из цилиндра карточку с числом 2, положив взамен карточки 4, 5, 6 и 7.
За 1/4 минуты до полудня он удалил из цилиндра число 3, а вместо неё положил в цилиндр числа от 8 до 15.
...
В полдень измученный фокусник вывалил всё содержимое цилиндра на стол. Сколько карточек с числами увидели зрители?
Решение
В условии задачи пропущена очень важная деталь: неизвестно, как именно должен произойти предельный переход. В зависимости от того, как мы интерпретируем условие, мы можем получить совершенно противоположные ответы.
Допустим, что фокусник умеет совершать предельный переход так, как об этом пишут в учебниках математического анализа.
Для любого натурального n>1 за 1/n минуты до полудня фокусник удаляет число n-1 и добавляет числа от 2^{n-1} до 2^n-1, после чего в цилиндре оказывается 2^n-n чисел.
Количество карточек после каждого шага образует последовательность x_n = 2^n-n. Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой, т.е. \lim x_n=\infty. Поэтому в полдень фокусник вывалит из цилиндра бесконечное число карточек.
Но ведь можно рассуждать и по-другому. Фокусник не может в полдень вывалить из цилиндра число 1, потому что он выкинул его за 30 секунд до этого. Не может он показать нам и число 2 - эту карточку удалили из цилиндра за 20 секунд до полудня.
Вообще, для любого числа n мы можем сказать, что фокусник удалил его из цилиндра за 1/(n+1) минуты до полудня, поэтому в полдень такой карточки в цилиндре не будет. Но если ни одно число не может остаться в цилиндре, то в полдень цилиндр будет пустым, и зрители не увидят ни одной карточки!
В этом случае мы используем определение предела из теории множеств. У нас есть последовательность из множеств такого вида:
X_1 = \{ 1 \}
X_2 = \{ 2, 3 \}
X_3 = \{ 3, 4, 5, 6, 7\}
X_4 = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}
...
Можно доказать, что предел этой последовательности существует и равен пустому множеству: \lim X_n = \varnothing.
Получается интересный результат: предел последовательности количества карточек в цилиндре равен бесконечности, в то время как предел последовательности множеств карточек, остающихся в цилиндре, есть пустое множество.
Сплошной обман трудящихся, не правда ли?
P.S. Строгое определение предела последовательности множеств через верхний и нижний пределы можно посмотреть в английской Википедии.
Ровно за минуту до полудня он опустил в цилиндр карточку с числом 1.
За 1/2 минуты до полудня он вытащил из цилиндра и выкинул карточку с числом 1, а вместо неё положил карточки с числами 2 и 3.
За 1/3 минуты до полудня фокусник извлёк из цилиндра карточку с числом 2, положив взамен карточки 4, 5, 6 и 7.
За 1/4 минуты до полудня он удалил из цилиндра число 3, а вместо неё положил в цилиндр числа от 8 до 15.
...
В полдень измученный фокусник вывалил всё содержимое цилиндра на стол. Сколько карточек с числами увидели зрители?
Решение
В условии задачи пропущена очень важная деталь: неизвестно, как именно должен произойти предельный переход. В зависимости от того, как мы интерпретируем условие, мы можем получить совершенно противоположные ответы.
Допустим, что фокусник умеет совершать предельный переход так, как об этом пишут в учебниках математического анализа.
Для любого натурального n>1 за 1/n минуты до полудня фокусник удаляет число n-1 и добавляет числа от 2^{n-1} до 2^n-1, после чего в цилиндре оказывается 2^n-n чисел.
Количество карточек после каждого шага образует последовательность x_n = 2^n-n. Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой, т.е. \lim x_n=\infty. Поэтому в полдень фокусник вывалит из цилиндра бесконечное число карточек.
Но ведь можно рассуждать и по-другому. Фокусник не может в полдень вывалить из цилиндра число 1, потому что он выкинул его за 30 секунд до этого. Не может он показать нам и число 2 - эту карточку удалили из цилиндра за 20 секунд до полудня.
Вообще, для любого числа n мы можем сказать, что фокусник удалил его из цилиндра за 1/(n+1) минуты до полудня, поэтому в полдень такой карточки в цилиндре не будет. Но если ни одно число не может остаться в цилиндре, то в полдень цилиндр будет пустым, и зрители не увидят ни одной карточки!
В этом случае мы используем определение предела из теории множеств. У нас есть последовательность из множеств такого вида:
X_1 = \{ 1 \}
X_2 = \{ 2, 3 \}
X_3 = \{ 3, 4, 5, 6, 7\}
X_4 = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}
...
Можно доказать, что предел этой последовательности существует и равен пустому множеству: \lim X_n = \varnothing.
Получается интересный результат: предел последовательности количества карточек в цилиндре равен бесконечности, в то время как предел последовательности множеств карточек, остающихся в цилиндре, есть пустое множество.
Сплошной обман трудящихся, не правда ли?
P.S. Строгое определение предела последовательности множеств через верхний и нижний пределы можно посмотреть в английской Википедии.
Интересная задача, возьму на заметку.
ОтветитьУдалить