Волейбол

5 волейболистов встали в круг и по очереди перебрасывают мяч друг другу. Каждый раз игрок, владеющий мячом, случайным образом выбирает, кому сделать передачу. Сколько в среднем передач они должны сделать, чтобы все хотя бы раз коснулись мяча?

Решение
В начале игры всегда нужен ровно один пас, чтобы подключить к игре второго игрока.

После этого первый и второй игрок будут перебрасывать мяч друг другу до тех пор, пока не подключат третьего. В каждой попытке вероятность выбрать целью паса кого-то из ждущих очереди равна $3/4$. Можно доказать (доказательство будет в бонусной части ниже), что в среднем на это потребуется $4/3$ попытки.

Когда в игру вступило уже три волейболиста, вероятность отдать следующий пас кому-то из двух оставшихся равна $2/4$. Поэтому в среднем им потребуется $4/2=2$ попытки, чтобы в игре оказалось четверо. Наконец, чтобы подключить пятого, нужно отдать ему пас с вероятностью $1/4$, на что потребуется в среднем $4$ хода.

Всего же необходимо $1+4/3+2+4=8\frac{1}{3}$ передачи.

Бонусная часть
Докажем, что если в каждой из попыток вероятность успеха равна $p>0$, то до достижения первого успеха в среднем потребуется $1/p$ попыток. В принципе, это утверждение довольно интуитивно. Например, если мы бросаем игральный кубик до тех пор, пока не выпадет единичка (которая выпадает с вероятностью $1/6$), то в среднем нам потребуется 6 бросков.

Итак, пусть вероятность успеха равна $p$, а неуспеха, соответственно, $1-p$. Вероятность успеха с первой же попытки равна, очевидно, $p$. Вероятность получить успех ровно с двух попыток равна $p(1-p)$, т.к. для этого нужно сначала с вероятностью $1-p$ получить неуспех в первой попытке, а затем с вероятностью $p$ получить успех во второй. Рассуждая аналогично, получим, что вероятность того, что первый успех произойдёт в попытке $n$ равна $p(1-p)^{n-1}$.

Обозначим через $x$ случайную величину - количество попыток до первого успеха, и запишем её математическое ожидание по определению: $$Ex = p + 2p(1-p) + 3p(1-p)^2 + 4p(1-p)^3 + ... = p\sum_{n=1}^{\infty}{n(1-p)^{n-1}}$$ Здесь нужен небольшой финт ушами: запишем члены ряда как производные по $p$, а потом поменяем местами знаки суммирования и дифференцирования (это можно сделать по свойствам степенного ряда): $$p\sum_{n=1}^{\infty}{n(1-p)^{n-1}} = -p\sum_{n=1}^{\infty}{ ((1-p)^n)' } = -p\left(\sum_{n=1}^{\infty}{ (1-p)^n } \right)'$$ Осталось только вспомнить формулу суммы членов геометрической прогрессии: $$-p\left(\sum_{n=1}^{\infty}{ (1-p)^n } \right)' = -p\left( \frac{1-p}{p} \right)' = -p\left( -\frac{1}{p^2} \right) = \frac{1}{p}$$ Что и требовалось доказать.