Дмитрий Медведев и Владимир Путин должны решить, кому из них ехать в скучную командировку в далёкий Кэмп-Дэвид, пропуская целую неделю тренировок по бадминтону. Обычно они решали это простым броском монетки: едет тот, кому выпадает решка. Однако недавно Дмитрий Медведев прочитал в Твиттере, что в реальном мире все монетки несимметричные: на некоторых чаще выпадает орёл, на некоторых - решка. Поэтому говорить о честном выборе с шансами 50/50 для каждого не приходится.
Как можно модифицировать процесс принятия решения при помощи монетки так, чтобы вероятности исходов были бы равны, даже если монетка несимметричная?
Решение
Нужно подбросить монетку два раза. Если выпадет два орла или две решки, нужно повторить эксперимент ещё раз. Если сначала выпадет орёл, а потом решка - выбрать первое решение, а если сначала решка, а затем орёл - второе.
Пусть, например, у участников спора есть несимметричная монета, на которой орёл выпадает с вероятностью $p>0$, а решка - с вероятностью $1-p$. Допустим, они договорились, что если выпадет орёл, а затем решка, то в командировку едет Владимир Путин, а если сначала решка, а затем орёл, то едет Дмитрий Медведев. Тогда шансы каждого из них равны, очевидно, $p(1-p)$.
Нужно, заметить, что если выпадет два орла (вероятность этого равна $p^2$), или две решки (с вероятностью $(1-p)^2$), то эксперимент придётся повторять ещё раз. Вероятность того, что эксперимент завершится победой одного из участников (т.е. того, что выпадет решка-орёл или орёл-решка), равна $2p(1-p)$.
Пользуясь результатами предыдущей задачи, мы можем сказать, что в среднем нам потребуется повторить эксперимент $1 / 2p(1-p)$ раз.
Например, если монетка всё-таки оказалась симметричной, и $p=1/2$, то нам потребуется в среднем 2 попытки, чтобы определить победителя. Если вдруг монетка совсем-совсем несимметричная, и $p=9/10$, то нам потребуется $5\frac{5}{9}$ попыток.
Как можно модифицировать процесс принятия решения при помощи монетки так, чтобы вероятности исходов были бы равны, даже если монетка несимметричная?
Решение
Нужно подбросить монетку два раза. Если выпадет два орла или две решки, нужно повторить эксперимент ещё раз. Если сначала выпадет орёл, а потом решка - выбрать первое решение, а если сначала решка, а затем орёл - второе.
Пусть, например, у участников спора есть несимметричная монета, на которой орёл выпадает с вероятностью $p>0$, а решка - с вероятностью $1-p$. Допустим, они договорились, что если выпадет орёл, а затем решка, то в командировку едет Владимир Путин, а если сначала решка, а затем орёл, то едет Дмитрий Медведев. Тогда шансы каждого из них равны, очевидно, $p(1-p)$.
Нужно, заметить, что если выпадет два орла (вероятность этого равна $p^2$), или две решки (с вероятностью $(1-p)^2$), то эксперимент придётся повторять ещё раз. Вероятность того, что эксперимент завершится победой одного из участников (т.е. того, что выпадет решка-орёл или орёл-решка), равна $2p(1-p)$.
Пользуясь результатами предыдущей задачи, мы можем сказать, что в среднем нам потребуется повторить эксперимент $1 / 2p(1-p)$ раз.
Например, если монетка всё-таки оказалась симметричной, и $p=1/2$, то нам потребуется в среднем 2 попытки, чтобы определить победителя. Если вдруг монетка совсем-совсем несимметричная, и $p=9/10$, то нам потребуется $5\frac{5}{9}$ попыток.
Комментариев нет:
Отправить комментарий