Игла на плоскости

Бесконечную плоскость расчертили параллельными прямыми, расположенными на расстоянии H друг от друга. На эту плоскость наудачу бросают иголку длины L < H. Какова верятность того, что иголка, упав на плоскость, пересечёт одну из прямых?

Решение
Предположим, что бросок "наудачу" происходит следующим образом. Сначала мы случайным образом выбираем точку $x$ на отрезке $[0, H]$, на которую упадёт конец иглы. После этого выбираем угол поворота $\alpha$, который показывает, насколько игла отклонилась от перпендикуляра. В силу симметрии задачи можно считать, что $\alpha$ всегда находится в диапазоне $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Легко видеть, что если $x > L$, то игла не пересечёт нижнюю прямую ни при каких значениях угла $\alpha$. Если же $0 \leq x \leq L$, то игла пересечёт кривую, если $\alpha \leq arccos \left( \frac{x}{L} \right)$. Зная это, мы можем изобразить ту область прямоугольника $[0, H] \times [0, \frac{\pi}{2}]$, в которой игла пересекает прямую.

Вычислим площадь данной области как интеграл по $dx$:$$
S = \int\limits_0^L \arccos{\left( \frac{x}{L}\right)}dx = \left(x\arccos{\left( \frac{x}{L}\right)} - \sqrt{L^2-x^2}\right)|^L_0 = L
$$Искомая вероятность есть отношение площади этой области к площади всего прямоугольника:$$
P = \frac{S}{\frac{\pi}{2}H} = \frac{2}{\pi}\frac{L}{H}
$$Эта задача известна как игла Бюффона. В частности, этим методом некоторые математики XIX века пытались получить приближённое значение числа $\pi$.