Processing math: 0%

воскресенье, 10 июня 2012 г.

Игла на плоскости

Бесконечную плоскость расчертили параллельными прямыми, расположенными на расстоянии H друг от друга. На эту плоскость наудачу бросают иголку длины L < H. Какова верятность того, что иголка, упав на плоскость, пересечёт одну из прямых?

Решение
Предположим, что бросок "наудачу" происходит следующим образом. Сначала мы случайным образом выбираем точку x на отрезке [0, H], на которую упадёт конец иглы. После этого выбираем угол поворота \alpha, который показывает, насколько игла отклонилась от перпендикуляра. В силу симметрии задачи можно считать, что \alpha всегда находится в диапазоне [0, \frac{\pi}{2}].
Легко видеть, что если x > L, то игла не пересечёт нижнюю прямую ни при каких значениях угла \alpha. Если же 0 \leq x \leq L, то игла пересечёт кривую, если \alpha \leq arccos \left( \frac{x}{L} \right). Зная это, мы можем изобразить ту область прямоугольника [0, H] \times [0, \frac{\pi}{2}], в которой игла пересекает прямую.
Вычислим площадь данной области как интеграл по dx: S = \int\limits_0^L \arccos{\left( \frac{x}{L}\right)}dx = \left(x\arccos{\left( \frac{x}{L}\right)} - \sqrt{L^2-x^2}\right)|^L_0 = L Искомая вероятность есть отношение площади этой области к площади всего прямоугольника: P = \frac{S}{\frac{\pi}{2}H} = \frac{2}{\pi}\frac{L}{H} Эта задача известна как игла Бюффона. В частности, этим методом некоторые математики XIX века пытались получить приближённое значение числа \pi.

1 комментарий:

  1. чересчур сложный интеграл. Можно так: Вероятность для малого d(alfa) есть отношение проекции иглы на направление перпендикулярное к линиям к расстоянию между линиями, т.е. dP=(d(alfa)/PI)*L*sin(alfa)/H
    Интегрируя от -PI/2 до PI/2 имеем тот же результат

    ОтветитьУдалить