Я бросил два одинаковых игральных кубика. На одном из них выпала шестёрка, а другой укатился под стол, и я его не вижу. Какова вероятность того, что на кубике под столом тоже выпала шестёрка? Ответы "1/6" и "1/36" неправильные.
Бонусный вопрос: что нужно изменить в условии задачи, чтобы ответ "1/6" стал правильным?
Решение
Интуитивно, конечно, кажется, что вероятность получить шестёрку на одном из кубиков не зависит от того, что выпало на другом кубике. Чтобы не ошибиться, можно составить таблицу исходов и посчитать вероятность по ней.
Цветом выделены исходы, которые соответствуют тому, что на одном из кубиков выпала шестёрка. Легко видеть, что хотя бы одна шестёрка выпадает 11 раз из 36. Из этих одиннадцати исходов только один соответствует тому, что на втором кубике также выпала шестёрка. Поэтому ответ на вопрос задачи 1/11.
Здесь мы неявно использовали тот факт, что кубики одинаковы и неотличимы друг от друга. Это означает, что, увидев на столе кубик, выпавший шестёркой, мы не можем сказать, который из них мы видим. В терминах нашей таблички это означает, что мы не можем выбрать между 6-м столбцом и 6-ой строчкой, поэтому вынуждены рассматривать все 11 вариантов.
Как изменится ответ, если мы явно обозначим в условии задачи, что кубики различимы, и мы точно знаем, который из них мы видим на столе? Например, что будет, если мы скажем, что наши кубики выкрашены в красный и синий цвет, и синий кубик выпал шестёркой, а красный куда-то укатился?
Здесь событию "синий кубик выпал шестёркой" соответствует 6 элементарных исходов (вся шестая строка), в одном из которых красный кубик выпадает шестёркой. Поэтому в этой постановке ответ будет 1/6
Бонусный вопрос: что нужно изменить в условии задачи, чтобы ответ "1/6" стал правильным?
Решение
Интуитивно, конечно, кажется, что вероятность получить шестёрку на одном из кубиков не зависит от того, что выпало на другом кубике. Чтобы не ошибиться, можно составить таблицу исходов и посчитать вероятность по ней.
| 1/1 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | 1/5 | 1/6 |
| 2/1 | 2/2 | 2/3 | 2/4 | 2/5 | 2/6 |
| 3/1 | 3/2 | 3/3 | 3/4 | 3/5 | 3/6 |
| 4/1 | 4/2 | 4/3 | 4/4 | 4/5 | 4/6 |
| 5/1 | 5/2 | 5/3 | 5/4 | 5/5 | 5/6 |
| 6/1 | 6/2 | 6/3 | 6/4 | 6/5 | 6/6 |
Здесь мы неявно использовали тот факт, что кубики одинаковы и неотличимы друг от друга. Это означает, что, увидев на столе кубик, выпавший шестёркой, мы не можем сказать, который из них мы видим. В терминах нашей таблички это означает, что мы не можем выбрать между 6-м столбцом и 6-ой строчкой, поэтому вынуждены рассматривать все 11 вариантов.
Как изменится ответ, если мы явно обозначим в условии задачи, что кубики различимы, и мы точно знаем, который из них мы видим на столе? Например, что будет, если мы скажем, что наши кубики выкрашены в красный и синий цвет, и синий кубик выпал шестёркой, а красный куда-то укатился?
| Красный кубик | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Синий кубик | 1/1 | 1/2 | 1/3 | 1/4 | 1/5 | 1/6 |
| 2/1 | 2/2 | 2/3 | 2/4 | 2/5 | 2/6 | |
| 3/1 | 3/2 | 3/3 | 3/4 | 3/5 | 3/6 | |
| 4/1 | 4/2 | 4/3 | 4/4 | 4/5 | 4/6 | |
| 5/1 | 5/2 | 5/3 | 5/4 | 5/5 | 5/6 | |
| 6/1 | 6/2 | 6/3 | 6/4 | 6/5 | 6/6 | |
Troll science какая-то получается.
ОтветитьУдалить— Чему равна вероятность того, что на кубиках выпадут одинаковые числа?
— 1/6
— Ок. Чему равна вероятность того, что на кубиках выпали одинаковые числа, при условии, что на одном из них выпало 6?
— 1/11
— Тогда чему равна вероятность того, что на кубиках выпали одинаковые числа, при условии, что на одном из них что-то выпало?
> Чему равна вероятность того, что на кубиках выпали одинаковые числа, при условии, что на одном из них что-то выпало?
ОтветитьУдалитьСчитаем по формуле полной вероятности: вероятность того, что хотя бы на одном кубике выпало K (11/36), умножить на вероятность, что на кубиках выпали одинаковые числа, при условии, что на одном из них выпало K (1/11), умножить на 6 (потому что K от 1 до 6). Получаем 11/36 * 1/11 * 6 = 1/6. Все сходится.
софистика. Если один из кубиков на столе а другой - под столом, то они уже идентифицированы. Поменять один на другой не получится, значит вероятность 1/6.
ОтветитьУдалитьЧтобы вероятность была 1/11 задача должна звучать так: "У меня есть умный пёс Шарик, который достаёт кубик из под стола если на нём выпала шестёрка, но достать он может только один кубик. Я бросаю кубики под стол и Шарик принёс мне один из них с шестёркой. Какова вероятность, что на оставшемся под столом кубике тоже выпала шестёрка?"