Жизненное

На прошлой неделе я пережил очередной приступ навязчивой идеи купить недвижимость в ипотеку. Всё бы ничего, но, играясь с ипотечным калькулятором в интернете, я вдруг с ужасом осознал, что не понимаю, по какой формуле он рассчитывает ежемесячный платёж по процентной ставке и сроку кредита. Я смутно помню, что в яслях воспитательница рассказывала, как посчитать доход по вкладу по формуле сложных процентов, но вот формула платежей по кредиту прошла мимо меня.

Короче говоря, задача такова. Я взял сумму A под r процентов на срок в n периодов. Каким должен быть аннуитетный периодический платёж x, чтобы я полностью рассчитался с банком? Интересует, конечно, как выводится эта формула, а не готовый результат из Википедии.

Решение
Как ни странно, никакой rocket science здесь нет. Даже не знаю, почему в школе так тщательно скрывают эту формулу от детей.

Правило довольно простое:
1. Изначально остаток долга $A_0$ равен, очевидно, $A$
2. В конце $i$-го периода на имеющийся остаток $A_{i-1}$ начисляется процент $r$, после чего платёж $x$ гасит как набежавшие проценты, так и часть основного долга. Получается, что $A_i = A_{i-1}(1+r) - x$

Теперь тупо выписываем последовательность: $$\begin{array} AA_0 = A\\ A_1 = A(1+r) - x\\ A_2 = \left(A(1+r) - x\right)(1+r) - x = A(1+r)^2 - x(1+r) - x\\ ...\\ A_n = A(1+r)^n - x(1+r)^{n-1} - ... - x(1+r) - x = A(1+r)^n - x\frac{(1+r)^n - 1}{r} \end{array}$$ Здесь для $A_n$ мы применили формулу суммы геометрической прогрессии.

Поскольку после $n$ периодов мы должны полностью погасить кредит, то $A_n=0$, откуда следует, что $$A(1+r)^n = x\frac{(1+r)^n - 1}{r}\\ x = A\frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$$ Что, как ни странно, совпадает с тем, что написано в Википедии.