Две дроби

Есть два рациональных числа: 13/16 и 9/11. Напишите рациональное число, которое находится между ними (больше 13/16 и меньше 9/11) и имеет знаменатель меньше 100.

Решение
Способ 1: метод пристального взгляда
Как часто пишут в книжках, "легко видеть", что для положительных чисел $m$, $n$, $p$ и $q$ верно, что $$\frac{m}{n} < \frac{p}{q} \implies \frac{m}{n} < \frac{m+p}{n+q} < \frac{p}{q}$$ Поэтому можно уверенно утверждать, что $$\frac{13}{16} < \frac{13+9}{16+11} = \frac{22}{27} < \frac{9}{11}$$ Способ 2: метод грубого перебора
Давайте попробуем найти искомую дробь как взвешенную сумму: $$\frac{13}{16} \cdot \frac{m}{n} + \left(1 - \frac{m}{n}\right)\cdot\frac{9}{11}, m < n$$ Приведём всё к общему знаменателю: $$\frac{13m}{16n} + \left(1 - \frac{m}{n}\right)\cdot\frac{9}{11} = \frac{9 \cdot 16 \cdot n - m}{11 \cdot 16 \cdot n}$$ Логично положить $m=16$, чтобы сократить 16 и в числителе, и в знаменателе: $$\frac{9 \cdot 16 \cdot n - m}{11 \cdot 16 \cdot n} = \{m=16\} = \frac{9n-1}{11n}$$ Теперь нам нужно подобрать такое $n>16$, чтобы $9n-1$ делилось на 11, и тогда можно будет сократить дробь на 11 и знаменатель будет меньше 100. Небольшой перебор методом грубой силы подскажет нам решение $n=27$: $$\frac{9n-1}{11n} = \{n=27\} = \frac{22\cdot11}{27\cdot11} = \frac{22}{27}$$