Задача о палке - 2

Как и в предыдущей задаче, палку снова наугад ломают на три части. Однако, в этот раз "наугад" будет означать следующее. Сначала палку ломают в одной случайно выбранной точке на две части. После этого выбирают один из обломков и ломают его наугад в случайно выбранной точке.

Какова вероятность того, что из трёх полученных обломков палки можно будет сложить треугольник?

Задача о палке

Палку наугад ломают на три части. Какова вероятность того, что из полученных обломков можно будет сложить треугольник?

Под "наугад" будем понимать следующее. На отрезке единичной длины, изображающем палку, случайным образом независимо друг от друга выбираются две точки. Эти точки делят исходный отрезок на три отрезка, из которых нужно сложить треугольник.

100 лампочек

Есть 100 пронумерованных лампочек с выключателями. Сначала некто зажёг все лампочки. После этого он переключил состояние каждой второй лампочки (т.е. лампочек с номерами 2,4,6...), затем переключил состояние каждой третьей, каждой четвёртой и так далее. Остановился он только после того как переключил состояние сотой лампочки.

Сколько лампочек осталось гореть после всей процедуры?

Неустойчивый многогранник

Выпуклый многогранник можно установить на плоскость любой гранью. Будем говорить, что многогранник неустойчив на данной грани, если при установке его этой гранью на горизонтальную плоскость в вертикальном поле тяжести он выходит из состояния равновесия.

Существует ли выпуклый многогранник, неустойчивый на каждой из своих граней?

Кругосветный полёт

На острове базируется группа одинаковых самолётов. Один из самолётов группы должен совершить кругосветный полёт, но топлива в баках хватает только на половину пути, а дозаправить самолёт на земле можно только на базе. К счастью, возможна дозаправка в воздухе: из баков одного самолёта можно мгновенно перекачать другому любое количество топлива.

Какое минимальное число самолётов необходимо, чтобы обеспечить одному из них кругосветный полёт? Все самолёты должны благополучно вернуться на базу.