Задача о палке

Палку наугад ломают на три части. Какова вероятность того, что из полученных обломков можно будет сложить треугольник?

Под "наугад" будем понимать следующее. На отрезке единичной длины, изображающем палку, случайным образом независимо друг от друга выбираются две точки. Эти точки делят исходный отрезок на три отрезка, из которых нужно сложить треугольник.

Решение
Пусть на отрезке [0,1] случайным образом выбраны точки $x$ и $y$. Для определённости будем считать, что $y>x$, тогда единичный отрезок оказывается разбит на три отрезка длинами $x$, $y-x$ и $1-y$. Для этих отрезков должны выполняться неравенства треугольника:$$\left\{\begin{eqnarray}
x + (y-x)>1-y\\
x + (1-y)>y-x\\
(y-x) + (1-y) > x
\end{eqnarray}\right.$$Или, что то же самое$$\left\{\begin{eqnarray}
y > 1/2 \\
y < x + 1/2 \\ x < 1/2 \end{eqnarray}\right.$$ Множество точек единичного квадрата, которые удовлетворяют этим условиям, изображено на первом рисунке. Для случая $x>y$ картинка будет симметрична относительно прямой $x=y$.

Из второго рисунка видно, что множество пар $(x, y)$, которые разбивают единичный отрезок на части, из которых можно сложить треугольник, имеет площадь $1/4$.

Таким образом, вероятность того, что из обломков палки можно будет сложить треугольник, равна $1/4$