Как и в предыдущей задаче, палку снова наугад ломают на три части. Однако, в этот раз "наугад" будет означать следующее. Сначала палку ломают в одной случайно выбранной точке на две части. После этого выбирают один из обломков и ломают его наугад в случайно выбранной точке.
Какова вероятность того, что из трёх полученных обломков палки можно будет сложить треугольник?
Решение
Пусть на единичном отрезке случайно выбрали точку x, которая разбивает отрезок на две части.
Для определённости будем считать, что второй раз мы всегда ломаем ту часть палки, которая остаётся слева, т.е. выбираем вторую точку разлома y на интервале (0,x). Случай, когда второй разлом делается справа от точки x, симметричен.
Для того, чтобы из полученных отрезков длинами y, x-y и 1-x можно было сложить треугольник, должны выполняться неравенства:
\left\{\begin{eqnarray} y+(x-y) > 1-x \\ (x-y)+(1-x) > y \\ y+(1-x) > x-y \end{eqnarray} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{eqnarray} x > 1/2 \\ y < 1/2 \\ y > x - 1/2 \end{eqnarray} \right.
Другими словами, если x>1/2, то точка y ложна попасть в интервал (x-1/2, 1/2), длина которого равна 1-x. В противном случае построить треугольник не получится.
Фиксируем точку x>1/2. Вероятность того, что y попадёт в нужный интервал, и можно будет построить треугольник, равна (1-x)/x. Интегрируя по x, получим общую вероятность:
\int_{1/2}^{1} \frac{1-x}{x}dx = (\ln x - x)|^1_{1/2} = \ln 2 - 1/2 \approx 0.193 .
Какова вероятность того, что из трёх полученных обломков палки можно будет сложить треугольник?
Решение
Пусть на единичном отрезке случайно выбрали точку x, которая разбивает отрезок на две части.
Для определённости будем считать, что второй раз мы всегда ломаем ту часть палки, которая остаётся слева, т.е. выбираем вторую точку разлома y на интервале (0,x). Случай, когда второй разлом делается справа от точки x, симметричен.
Для того, чтобы из полученных отрезков длинами y, x-y и 1-x можно было сложить треугольник, должны выполняться неравенства:
\left\{\begin{eqnarray} y+(x-y) > 1-x \\ (x-y)+(1-x) > y \\ y+(1-x) > x-y \end{eqnarray} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{eqnarray} x > 1/2 \\ y < 1/2 \\ y > x - 1/2 \end{eqnarray} \right.
Другими словами, если x>1/2, то точка y ложна попасть в интервал (x-1/2, 1/2), длина которого равна 1-x. В противном случае построить треугольник не получится.
Фиксируем точку x>1/2. Вероятность того, что y попадёт в нужный интервал, и можно будет построить треугольник, равна (1-x)/x. Интегрируя по x, получим общую вероятность:
\int_{1/2}^{1} \frac{1-x}{x}dx = (\ln x - x)|^1_{1/2} = \ln 2 - 1/2 \approx 0.193 .
Комментариев нет:
Отправить комментарий