Задача о палке - 2

Как и в предыдущей задаче, палку снова наугад ломают на три части. Однако, в этот раз "наугад" будет означать следующее. Сначала палку ломают в одной случайно выбранной точке на две части. После этого выбирают один из обломков и ломают его наугад в случайно выбранной точке.

Какова вероятность того, что из трёх полученных обломков палки можно будет сложить треугольник?

Решение
Пусть на единичном отрезке случайно выбрали точку $x$, которая разбивает отрезок на две части.

Для определённости будем считать, что второй раз мы всегда ломаем ту часть палки, которая остаётся слева, т.е. выбираем вторую точку разлома $y$ на интервале $(0,x)$. Случай, когда второй разлом делается справа от точки $x$, симметричен.

Для того, чтобы из полученных отрезков длинами $y$, $x-y$ и $1-x$ можно было сложить треугольник, должны выполняться неравенства:
$$\left\{\begin{eqnarray}
y+(x-y) > 1-x \\
(x-y)+(1-x) > y \\
y+(1-x) > x-y
\end{eqnarray}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{eqnarray}
x > 1/2 \\
y < 1/2 \\ y > x - 1/2
\end{eqnarray}
\right.$$
Другими словами, если $x>1/2$, то точка $y$ ложна попасть в интервал $(x-1/2, 1/2)$, длина которого равна $1-x$. В противном случае построить треугольник не получится.

Фиксируем точку $x>1/2$. Вероятность того, что $y$ попадёт в нужный интервал, и можно будет построить треугольник, равна $(1-x)/x$. Интегрируя по $x$, получим общую вероятность:
$$\int_{1/2}^{1} \frac{1-x}{x}dx = (\ln x - x)|^1_{1/2} = \ln 2 - 1/2 \approx 0.193 $$.