Цепь резисторов

На рисунке изображена бесконечная цепь, составленная из одинаковых резисторов сопротивлением R. Чему равно общее сопротивление этой цепи, т.е. сопротивление между точками A и B?

Решение
Пусть искомое сопротивление цепи равно $X$. Поскольку цепь бесконечная, то от того, что мы вырежем из неё одно звено, общее сопротивление не изменится. Поэтому можно смело сказать, что наша схема эквивалентна следующей:

Другими словами, мы заменили бесконечную цепь с общим сопротивлением $X$ на один-единственный резистор с сопротивлением $X$. Ну а дальше - дело техники. Общее сопротивление такой цепи равно $$R + \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{X}} + R = 2R + \frac{RX}{R+X}$$ С другой стороны, мы договорились, что сопротивление между точками A и B равно $X$, и от того, что мы заменили схему на эквивалентную, оно не изменилось. Отсюда уравнение: $$X = 2R + \frac{RX}{R+X}$$ $$X^2 - 2RX - 2R^2 = 0$$ $$X = R(1 + \sqrt{3})$$