На рисунке изображена бесконечная цепь, составленная из одинаковых резисторов сопротивлением R. Чему равно общее сопротивление этой цепи, т.е. сопротивление между точками A и B?
Решение
Пусть искомое сопротивление цепи равно $X$. Поскольку цепь бесконечная, то от того, что мы вырежем из неё одно звено, общее сопротивление не изменится. Поэтому можно смело сказать, что наша схема эквивалентна следующей:
Другими словами, мы заменили бесконечную цепь с общим сопротивлением $X$ на один-единственный резистор с сопротивлением $X$. Ну а дальше - дело техники. Общее сопротивление такой цепи равно$$
R + \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{X}} + R = 2R + \frac{RX}{R+X}$$С другой стороны, мы договорились, что сопротивление между точками A и B равно $X$, и от того, что мы заменили схему на эквивалентную, оно не изменилось. Отсюда уравнение:$$
X = 2R + \frac{RX}{R+X}$$ $$
X^2 - 2RX - 2R^2 = 0$$ $$
X = R(1 + \sqrt{3})$$
Решение
Пусть искомое сопротивление цепи равно $X$. Поскольку цепь бесконечная, то от того, что мы вырежем из неё одно звено, общее сопротивление не изменится. Поэтому можно смело сказать, что наша схема эквивалентна следующей:
R + \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{X}} + R = 2R + \frac{RX}{R+X}$$С другой стороны, мы договорились, что сопротивление между точками A и B равно $X$, и от того, что мы заменили схему на эквивалентную, оно не изменилось. Отсюда уравнение:$$
X = 2R + \frac{RX}{R+X}$$ $$
X^2 - 2RX - 2R^2 = 0$$ $$
X = R(1 + \sqrt{3})$$
мгушники открывают для себя сборник задач зфтш мфти ?
ОтветитьУдалитьНе надо грязи. Я отучился в ЗФТШ с 8-го по 11-й класс, и такой задачи у нас не было. Что, конечно, не отменяет того, что задача известная.
ОтветитьУдалить