Четыре четвёрки

Сегодня у нас загадка из совершенно чумовой книжки "Головоломки профессора Головоломки". Запишите целые числа от 0 до, скажем, 20, используя только четыре четвёрки и математические операции.

Начать можно, например, с такого:
0 = 44 - 44
1 = 4 - 4 + 4/4

Молоко и кофе

Есть два одинаковых стакана: стакан молока и стакан кофе. Изначально объёмы жидкостей в стаканах равны. Некто набрал из стакана чайную ложку молока и перелил в стакан с кофе. Тщательно перемешал, после чего перелил чайную ложку смеси в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в молоке или молока в кофе?

Пьяный математик

Один математик жутко напился и неизвестным образом оказался на острове, который, как водится в задачах этого рода, населяли племя лжецов и племя правдивых туземцев. Члены первого племени всегда лгали, члены второго - всегда говорили только правду. Математик встретил аборигена, неизвестно, правдивого или нет.

Как, задав единственный вопрос и получив в ответ "Да" или "Нет", математик узнал, из какого племени этот туземец, сколько у него сыновей и сколько дочерей (оказалось 2 и 3), и в какую сторону нужно идти, чтобы попасть в аэропорт?

Считаем, что туземцы знают логику и математику ровно в таком же объёме, что и европейцы.

Научная гипотеза

Вспомнил на днях интересную задачку из Гарднера. Вопрос: является ли красная корова подтверждением гипотезы, что все вороны - чёрные?

Две дроби

Есть два рациональных числа: 13/16 и 9/11. Напишите рациональное число, которое находится между ними (больше 13/16 и меньше 9/11) и имеет знаменатель меньше 100.

Карточный фокус

Фокусник даёт зрителям стандартную колоду из 52 карт: 4 масти от двойки до туза без джокеров. Зрители произвольным образом выбирают из колоды 5 карт и показывают их помощнику фокусника. Помощник смотрит на эти 5 карт и говорит 4 из них фокуснику (какие именно и в каком порядке решает он). После этого фокусник называет пятую карту. Как ему это удаётся?

Никакой ловкости рук, чистая математика. Помощник не может передать дополнительную информацию интонацией, паузами или порядком слов ("дама треф"/"трефовая дама"). В предельном случае можно считать, что помощник жестами показывает зрителю, какую карту назвать, а тот сам озвучивает её фокуснику. Конечно, фокусник и помощник имели возможность договориться обо всём заранее.

Парадокс фокусника

Сначала фокусник продемонстрировал зрителям пустой цилиндр.
Ровно за минуту до полудня он опустил в цилиндр карточку с числом 1.
За 1/2 минуты до полудня он вытащил из цилиндра и выкинул карточку с числом 1, а вместо неё положил карточки с числами 2 и 3.
За 1/3 минуты до полудня фокусник извлёк из цилиндра карточку с числом 2, положив взамен карточки 4, 5, 6 и 7.
За 1/4 минуты до полудня он удалил из цилиндра число 3, а вместо неё положил в цилиндр числа от 8 до 15.
...

В полдень измученный фокусник вывалил всё содержимое цилиндра на стол. Сколько карточек с числами увидели зрители?

Монеты в тёмной комнате

Вас завели в тёмную комнату, в которой на столе лежат 100 монет. Известно, что ровно 20 монет лежат решками вверх. Нужно разделить все монеты на столе на две кучки так, чтобы количество монет, лежащих решками вверх, в первой кучке и во второй кучке было одинаковым. Размер кучек значения не имеет. Разглядеть монеты в темноте нельзя, отличить на ощупь орла от решки тоже невозможно.

Пожар на острове

Вы оказались на необитаемом острове. Остров очень длинный (скажем, 20 километров), но очень узкий (скажем, 10 метров) и вытянулся с запада на восток. Весь остров порос деревьями.

На западном краю острова начался пожар. К сожалению, сильный ветер дует с запада на восток и гонит пожар на Вас, хотя скорость распространения пожара и меньше скорости, с которой Вы бегаете. Оказаться в пожаре означает немножко сгореть насмерть. Деться с острова никуда нельзя, потому что берега очень крутые и спрыгнуть с них не приятнее, чем оказаться в пожаре. Лопаты, чтобы вырыть противопожарный ров тоже нет. Как Вам спастись?

Эту жизненную задачу я давным-давно увидел здесь.

50 красных и 50 синих шаров

У Вас есть два ящика, в которые Вы должны разложить 50 синих и 50 красных шаров произвольным образом при условии, что все шары должны оказаться в одном из ящиков. После того, как Вы это сделаете, я наугад выберу один из ящиков и наугад вытащу из него один шар. Как Вы должны распределить шары, чтобы максимизировать вероятность того, что я вытащу красный шар?

Мышиная охота

В стене есть 5 мышиных норок, расположенных в ряд. Мышка сидит в одной из них, причём неизвестно, в какой именно. Кот Леопольд Дорофей хочет поймать эту мышку. За одну попытку он может засунуть лапу в одну из норок. Если он угадал, то мышка становится его добычей. Если нет, то перепуганная мышка обязательно перебегает из той норки, в которой она сидела, в соседнюю справа или слева. Может ли Дорофей гарантированно поймать мышку?

6 шаров, 2 взвешивания.

Есть 2 красных шара, 2 зелёных шара и 2 синих шара, т.е. всего 6 штук. В каждой паре шаров одинакового цвета один шар легче другого, причём известно, что все лёгкие шары весят 50 грамм, а все тяжёлые - 100 грамм. В вашем распоряжении чашечные весы без гирь. Как определить лёгкие и тяжёлые шары за два взвешивания?

Цепь резисторов

На рисунке изображена бесконечная цепь, составленная из одинаковых резисторов сопротивлением R. Чему равно общее сопротивление этой цепи, т.е. сопротивление между точками A и B?

100 ступенек

Перед Вами лестница из 100 ступенек. Каждым шагом Вы можете подняться вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими различными способами можно подняться по этой лестнице наверх?

Задача фон Неймана

На этот раз хочется не столько рассказать новую задачу (95% слышали её ещё в школе), сколько вспомнить связанную с ней байку.

Между пунктами А и Б проложена одноколейная железная дорога длиной 200 км. Из пункта А в пункт Б вышел поезд со скоростью 50 км/ч. Одновременно навстречу ему из пункта Б в пункт А с той же скоростью вышел другой поезд. В тот же момент муха, сидевшая на ветровом стекле поезда А, отправилась навстречу поезду Б со скоростью 200 км/ч. Долетев до него, она мгновенно развернулась без потери скорости и направилась навстречу поезду А. Так эта муха и летала между поездами, пока они не столкнулись и не раздавили её. Сколько километров успела пролететь муха?

Эту задачу можно решить в уме за 5 секунд, если догадаться, как. А можно решить в лоб, просуммировав возникающий в задаче ряд.

Рассказывают, что Джон фон Нейман, один из основоположников информатики, услышав эту задачу, задумался лишь на секунду и выдал правильный ответ. Когда его спросили, как же он так быстро нашёл ответ, учёный скромно ответил, что просуммировал ряд.

3 кубика

Я взял 3 одинаковых кубика и на каждую грань каждого кубика нанёс число от 1 до 6, при этом числа на кубике могут повторяться. То есть помимо стандартной раскраски (1, 2, 3, 4, 5, 6) я могу сделать, например, (1, 1, 2, 2, 3, 3) или (5, 5, 5, 5, 5, 5) на своё усмотрение.

Теперь каждому встречному и поперечному я предлагаю сыграть в одну занятную игру. Я предлагаю человеку внимательно осмотреть все кубики (можно даже повертеть их в руках) и выбрать один из них. После этого я выбираю один из двух оставшихся, и мы бросаем наши кубики по одному разу. Тот, у кого выпавшее число меньше, проигрывает и платит 1 рубль победителю. При равенстве очков выигрывает мой соперник.

Каким образом я мог бы нанести числа на кубики, чтобы дни напролёт играть в эту игру с положительным мат. ожиданием? Задача чисто математическая, никакого жульничества вроде смещённого центра тяжести нам не нужно.

Дмитрий Медведев и 4 таблетки

Однажды Дмитрий Медведев простудился, и к нему прислали доктора, чтобы зачистить все проблемывылечить его. Доктор прописал выпить утром две таблетки, А и Б, а потом повторить приём вечером, то есть всего нужно выпить 4 таблетки. При этом доктор предупредил, что если пропустить приём хотя бы одной таблетки, то можно схлопотать оранжевую чуму в качестве осложнения. Если же выпить за раз две таблетки А или две таблетки Б, то можно и вовсе словить pussy riot головного мозга.

Доктор ушёл, а Дмитрий Медведев случайно высыпал все 4 таблетки на стол и перепутал их. Теперь перед ним 4 совершенно одинаковых сереньких кругляшка, которые надо как-то выпить, чтобы поправиться. Что он должен сделать, чтобы наверняка выпить по таблетке А и Б утром, а потом повторить приём вечером?

Кирпич

Есть прямоугольный параллелепипед из обожжённой глины, в простонародье называемый "кирпич". Как измерить его большую (внутреннюю) диагональ при помощи карандаша, линейки и листка бумаги, не прибегая к теореме Пифагора и прочей ненужной простому каменщику математике? Ломать кирпич нельзя, а вот прикладывать его так и сяк к бумажке - можно.

Пустыня

Перед Вами безводная пустыня длиной 50 км, которую нужно пересечь. На каждый километр пути Вы потребляете 1 литр воды. Вы можете нести на себе запас воды не более чем в 10 литров (больше - слишком тяжело).

В отправной точке есть бесконечный источник воды, а вот в самой пустыне источников воды нет. Впрочем, Вы можете складировать воду в пустыне, и она не будет испаряться (считайте, что у вас есть бесконечный запас невесомых пластиковых бутылок).

Какое минимальное количество воды Вам потребуется, чтобы пересечь пустыню?

Бурьян

Есть квадратное поле размером 10x10 клеток, некоторые из которых изначально поросли бурьяном. Если у какой-то клетки хотя бы две соседние по горизонтали или вертикали (но не по углу) клетки заросли бурьяном, то и эта клетка также зарастает. Например, если изначально заросли 10 клеток по главной диагонали, то со временем бурьян распространится на всё поле.

Может ли зарасти всё поле, если изначально бурьян расположен на 9 клетках? Если может, то приведите пример начального расположения этих 9 клеток. Если не может, докажите это.